Digital Signal Processing_5 - Sampling_2

전 포스팅에서 예고했던대로 오늘은 time domain에서 sampling을 할때 freq domain에서 어떤 변화가 발생하는지 실제 예시를 들고 nyquist theorem이 왜 필연적인지 설명해보는 시간을 갖도록 하겠다.

 

예시로는 다음과 같은 y(t)를 Fourier Transform을 할 때의 freq domain을 살펴 볼 것이다.

 

convolution을 그래프를 이용해 활용하면 직관적으로 편하게 볼 수 있으므로, 미리 x(t)의 fourier transform을 확인해보자.

 

예전 포스팅에서 convolution의 physical한 의미는 inner product + shift라고 말한 적이 있다.

위와같은 X(w)를 convolution 해보면,

 

이런 결과를 얻을 수 있다.

convolution을 수식적으로 계산하지 않고도 그래프적으로 바로 convolution 결과값을 얻을 수 있다. 그 후, 실제 계산은 그래프를 보고 적을 수 있다는 점에서 convolution을 제대로 이해하는게 얼마나 중요한지 알 수 있다.

 

여기까지가 y(t)의 퓨리에 변환인 Y(w)를 구한 과정이고, 이제 time domain에 대해 sampling을 해보자.

 

 

nyquist 이론에서 알 수 있는 최소값을 sampling freq로 이용해보면, f_sam = 2f_m임을 이용해야 한다.

Y(w)에서 bandwidth값으로 2*pi*f_0를 사용했으므로, W_m = 2*pi*f_m에서 f_m = f_0임을 알 수 있다.

따라서 f_sam = 2*f_0이고, point sampling과 impulse sampling의 1/T_sam = 2*f_0임을 알 수 있고, 따라서 y 절편값은 2가 된다. 또한, 주기함수가 되는데 각 주기는 2*pi*2*f_0 = 4*pi*f_0 /// 2pi인데, 그려보면 위와 같이 그래프를 얻을 수 있다

 

Nyquist의 최소 sampling freq를 사용했기때문에 sampling한 freq domain에서 하나도 값이 안 겹치는 것을 볼 수 있다.

이때, 만약 sampling을 2*f_m보다 작게한다면 

point sampling입장에서는 주기가 2pi/Tsam이고, 오른쪽 절편값이 pi/Tsam인데 이 값이 작아져 bandwidth가 pi/Tsam보다 커져 freq끼리 겹치는 영역이 발생하고 이는 곧 aliasing problem으로 이어진다.

impulse sampling입장에서는 주기는 2pi로 동일한데, w*Tsam값이 오른쪽 절편값이 pi값을 넘어 Aliasing problem으로 이어지게 된다.

 

즉 fsam>= 2fm이어야 bandwidth가 range안에 들어오게 되고 Aliasing이 발생하지 않게된다. nyquist thoerm이 이렇게 해서 나오게 된 것임을 알 수 있다.