DSP_7 - DFT

벌써 DSP 7번째 포스팅이다.

현재 Y = HX에서 X에대해 정리하고 있으며 지난 포스팅까지는 time domain에서 sampling을하면 어떻게 되는지, 복원에 대한 내용까지 알아보았다.

이번 포스팅에서는 time domain에서 sampling한 주파수domain에서의 결과에서 sampling을 한 번 더하게 되면 어떻게 되는지 알아볼 것이다.

 

https://ksh9-9.tistory.com/11

Digital Signal Processing_5 - Sampling_2

 

이 글에서 알 수 있듯이 time domain에서 sampling을 하게되면 freq domain에서의 결과값은 다음과 같다.

위 식은 구현하는데 엄청나게 큰 문제가 있다.

바로 continuous 하다는 것이다.

Digital 신호를 다루는 우리는 이런 Analog 신호를 절대로 사용할 수 없다. (구현할 수가 없다.) 

그래서 freq domain에서 값을 다루기 위해 이 freq domain에서의 식을 sampling을 하게 된다.

 

x축값을 theta를 사용하는 point sampling한 결과를 시작으로 sampling을 진행해보자.

이때 주기는 2pi이기 때문에 N-point sampling을하게 되면 freq domain에서의 간격은 2pi/N이 되게된다.

 

여기까지의 내용을 정리해보면 위와 같다.

 

DFT 내용 정리가 끝나면 다음으로 FFT를 정리할 예정인데, 미리 notation하나를 정리하고 가자.

twiddle factor라고도하는데 W_N은 앞으로 자주 쓸 예정이니 그냥 저렇게 정의하는구나라고 알고가자.

주기가 2pi/N이고, 오일러 공식에 의해 단위원에서 N등분하는것을 생각해보면 여러가지 특성을 알 수 있는데 해당 내용은 추후에 FFT다루면서 정리하겠다.

 

이대로 개념만 설명하고 넘어가면 심심하니 예제하나만 풀어보고 금일 포스팅 마무리를 해보겠다.

위와같은 time domain에서 continuous한 신호를 DFT까지 해보자.

 

DFT결과는 위와 같게 나오게된다.

 

등비수열을 풀면 위와같은 결과가 나오게 되는데 그래서 이게 뭔데? 라고 생각이 들 수 있다.

 

주기가 2pi에서 N등분한거중에 임의의 한 값(m)을 고른것을 theta_0라고 했을때, (index가 m인것)

위와같이 3가지 case로 나눌 수 있다.

 

DFT의 변수는 k인데 k가 m or N-m(주기가 N이므로 -m+N) 일때만 값을 가지는것을 볼 수 있다.

즉, 처음의 time domain에서의 식이 freq domain에서 어떤 주파수를 가지는지, 이때의 크기를 알 수 있다. 

 

 

내가 특정 신호를 받았을때 수정하고 싶을때 time domain에서 수정하면 어려운것을 주파수도메인에서 수정을 하려고하면 몇 개 안되는 주파수값만 얻게 되고 여기서 수정하면 훨씬 쉽게 목표를 이룰 수 있다. 

 

필자는 DSP 수업을 들을 때 이것을 깨달았을때 너무나도 크게 감명받았다. 너무 신기하지 않는가?

(물론 4년전에 신호및시스템 수업을 들을때 다룬 내용이겠지만 너무 오래되서 다 까먹었었다.) 

 

이글을 보는 여러분들도 필자와같은 감동을 느꼈으면 좋겠다.

 

이상으로 금일 포스팅 마치도록 하겠다.