Digital Signal Processing_3- Freq Domain Analysis

정말 오랜만에 DSP 내용을 정리해보려고한다. (종강도 했으니 이제 자주 업데이트할 예정이다.)

앞으로 정리할 내용들에 대해 Preview 후, 1,2번째에 다뤘던 내용들을 Review후 오늘의 주제에 대해 다뤄보겠다.

 

DSP는 한줄로 적으면, Y=HX에 대해 공부하는 것이다.

LTI system에서 y[n] = h[n] * x[n]이라는것을 신호및시스템을 공부한 사람들이라면 다들 알 것이다. 이 때, freq domain에서 바라보면 Y(w) = H(w)X(w)이다. time domain상 convolution은 freq domain에서 곱하기가 되는것인데,

내가 앞으로 정리할 내용은 여기에서 X와 H에 관한 내용들이다.

 

DSP의 Digital Signal에 해당하는 X와 Processing에 해당하는 H에 관해서 정리할 것이며 글로 적는 것보다 표 형식으로 한번에 보는게 편할 것 같아 아래와 같이 사진을 첨부하였다.

여기까지가 앞으로 정리할 내용에 관한 preview이며, 과거에 1,2 포스팅을 할 때 적었던 내용을 간단하게 review 해보도록 하겠다.

 

먼저 convolution이 무엇인지 mathmetically와 physically하게 의미를 나눠서 공부하였다.

수식으로 나타내면 적분 형태로 나타나게 되는데 이게 내적후 지정된 범위에 대해 적분을 하는 것이므로, shift를 의미하게 되어 inner product + shift이며, 물리적으로는 특정값을 찾는 필터 역할을 한다.

 

다음으로 여러 signal에 대한 property들을 공부하였다. 궁금하면 이전 포스팅을 확인하면 된다.

 

 

 

 

이제 오늘의 main 내용인 주파수 도메인에서의 분석에 대해 정리해보겠다.

 

1. Specific signal & fourier transform of this signal

• 1. Delta & DC function

time domain에서 Delta function인 경우 freq domain에서 DC function이 되고, 

time domain에서 DC function인 경우 freq domain에서 Delta function이 된다.

물론 수식에 대입해서 풀면 그렇다는 것을 알 수 있지만, 직관적으로 이해를 해보자. (이래야 기억에 오래 남는다.)

 

에너지 관점에서 보았을때 시간축에서 delta function이라는 것은 한번에 무한한 에너지 값을 가지는 것을 의미한다. 에너지가 무한한것은 주파수 관점에서 바라보았을때 전 영역에 걸쳐 값이 있다는 것이고 즉, DC 신호로 볼 수 있다.반대로

시간 축에서 DC라는것은 진동이 없고 이 말은 즉, 주파수가 0이라는 것이다. 따라서 주파수 축에서 delta function으로 나타나게 된다.

 

증명은 참고로 첨부하겠다.

• 2. 정현파

공대생들이라면  exp(jx) = cos(x) + jsin(x) 라는 오일러공식을 알 것이다.

time domain에서 exp(jw_0t)를 사용한다면 퓨리에 변환의 결과는 delta function으로 나타난다. 

시간 축에서 1이라는 DC값을 썼을때 주파수 축에서 delta function이 나온것을 위에서 정리하였고, 증명시 exp함수에 1을 곱해서 delta function이 나왔는데, 시간축에서 w_0라는 주파수를 사용하여 값을 넣으면 주파수 축에서는 freq shift된값이 나올 수밖에 없다. 

 

• 3. Rect & Sinc function

엄청나게 중요한 함수들이다. 증명은 아래처럼 해놓았지만 이 함수의 경우 바로바로 사용할 수 있어야 한다. (왜 중요한지는 앞으로 DSP관련 포스팅을 하면서 어떻게 사용하는지 보면 이해가 갈 것이다.)

• 4. Gaussian function

time축과 freq축에서 전부 gaussian 함수로 나오는 특이한 함수이다.

• 5. Impulse train

Delta function의 주기적인 신호를 나타내는 신호이다.

 

 

 

 

이상으로 Frequency domain 주제에 대한 DSP 포스팅을 마치겠다.

 

다음 포스팅부터는 Sampling과 Reconstruction에 대한 포스팅을 할 예정이다.